DIVIDIBILIDAD:
Numeros Enteros
Matemáticas, 2ºESO Savia SM by: Adrián Mercado López
1.
Reglas de divisibilidad
1.1. Múltiplos y divisores
- Un número es múltiplo de otro si es el resultado de
multiplicar el segundo por
algún número natural.
- Un número es divisor o factor de otro
si se puede dividir el segundo entre el
primero de forma exacta.
1.2.
Criterios de divisibilidad
Con los criterios de divisibilidad se
sabe si un número es divisible entre otro sin
hacer la división.
Por
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Criterio
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Ejemplos
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2
|
El
número termina el cifra par.
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8,
14, 42, 76, 120
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3
|
La
suma de sus cifras es múltiplo de 3.
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3,
9, 15, 42, 84, 111
|
4
|
Sus
dos ultimas cifras son 0 o forman múltiplo de 4.
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12,
84, 100, 124, 512
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5
|
El
número acaba en 0 o en 5.
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10,
25, 40, 95, 135
|
9
|
La
suma de sus dos últimas cifras es múltiplo de 9.
|
45,
72, 108, 225, 333
|
10
|
El
número acaba en 0.
|
10,
20, 70, 200, 520
|
11
|
-
Se suman las cifras que ocupan posiciones pares
-
Se suman las cifras que ocupan posiciones impares.
-
Se restan ambos resultados.
-
El número inicial es divisible por 11 si el
resultado obtenido es 0 o es múltiplo de 11.
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66,
121, 396, 572, 1001
|
25
|
Sus
dos últimas cifras son 0 o forman un múltiplo de 25.
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50,
100, 175, 325, 500
|
100
|
Sus
dos últimas cifras son 0.
|
100,
300, 700, 2400
|
1.3. Números
primos y compuestos
Un número es primo si solo tiene dos divisores, el 1 y él mismo.
Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.
2. Descomposición
factorial
1.2. Descomposición en factores
primos
Para descomponer un número en
factores primos, se siguen tres pasos:
-
1º: Se busca un
divisor primo del número. Conviene empezar por los números primos más pequeños.
-
2º: Se divide el
número entre el divisor primo encontrado.
-
3º: Se repite el
proceso hasta que el cociente que obtengamos sea 1.
1.3. Múltiplos y divisores de números descompuestos
en factores
Los múltiplos de un número contienen todos
los factores primos de dicho número.
Los divisores de un número están formados por
los factores primos de dicho número y los productos de estos factores entre sí.
1.4.
Número de divisores de un número natural
Para calcular el número total de divisores de un
número, se suma una unidad a cada uno e los exponentes de su descomposición en
factores primos y se multiplican los resultados.
3. Máximo común
divisor
El
máximo común divisor (m.c.d.) de
varios números es el mayor de sus divisores comunes.
El
máximo común divisor de varios
números es igual al producto de sus factores primos comunes elevados a los
menores exponentes.
4.
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor de sus
múltiplos comunes.
El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto de
todos sus factores primos comunes y no comunes, elevados a los mayores
exponentes.
5.
Los números enteros
Los números enteros comprenden:
-
Los números enteros positivos: +1, +2,
+3, +4…
-
Los números enteros negativos: -1, -2,
-3, -4…
-
El cero
El
conjunto de todos los números enteros se representa con la letra ℤ.
ℤ=
{…-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4…}
5.1. Representación de
números enteros
Para
representar los números enteros en la recta, realizamos los siguientes pasos:
-
1º:
Señalamos el 0, indicando el origen,
y el 1 a su derecha a cualquier distancia.
-
2º:
Usamos dicha distancia para situar los demás números. Los números enteros
positivos se sitúan a la derecha del cero y los negativos, a su izquierda.
5.2. Valor absoluto de un número
entero
El
valor absoluto entero a, |a|,
representa su distancia al 0 y es igual al número natural que se obtiene al
eliminar el signo.
5.3. Opuesto de un número entero
El
opuesto de un número entero a, op(a), es otro número entero con el
mismo valor absoluto y signo contrario.
5.4. Ordenación de números enteros
-
Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo.
-
El 0 es menor que cualquier número entero positivo y mayor que cualquier número
entero negativo.
-
Dados dos números enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor
absoluto.
-
Dados dos números enteros negativos, es mayor el que tiene manor valor absoluto.
6.
Sumas y restas de números enteros
6.1.
Suma de números enteros
Para
sumar números enteros del mismo signo,
se suman sus valores absolutos y se deja el mismo signo.
Para
sumar números enteros de distinto signo,
se restan sus valores absolutos y se deja el signo del sumando que tenga mayor
valor absoluto.
6.2. Resta de números enteros
Para
restar dos números enteros se suma
al primero el opuesto del segundo.
6.3. Sumas y restas combinadas
Para
realizar sumas y restas dentro de un
paréntisis, se puede eliminar el paréntisis teniendo en cuenta de que:
-
Si al paréntesis le procede un signo +,
los sumandos conservan el signo.
-
Si al paréntesis le procede un signo -,
los sumandos cambian de signo.
7.
Multiplicación y división de enteros
7.1. Multiplicación de números
enteros
Para multiplicar dos números enteros, se
multiplican sus valores absolutos.
+ · + = +
|
−
· + = −
|
+ · − = −
|
− · − = +
|
7.2. Divisón de
números enteros
Para dividir dos números enteros, se dividen
sus valores absolutos.
+ : + = +
|
−
: + = −
|
+ : − = −
|
− : − = +
|
7.3.
Multiplicaciones y divisones combinadas
Al
combinar multiplicaciones y divisones o varias divisiones consecutivas, es
necesario seguir el orden en el que aparecen, de izquierda a derecha.
7.4. Múltiplos y divisores de
números enteros
Los
múltiplos de un número entero se
obtienen al multiplicar dicho número por un segundo número entero positivo o
negativo.
Los
divisores de un número entero está
formados por sus divisores naturales y sus opuestos.
8.
Operaciones combinadas con números enteros
8.1. Jerarquía de de operaciones
Para
operar con números enteros se resuelven primero las operaciones de dentro de
los paréntesis y corchetes y después el resto, siguiendo este orden:
-
1º:
Se realizan las multiplicaciones y
divisiones, de izquierda a derecha.
-
2º:
Se realizan las sumas y restas.
8.2. Propiedad distributiva
Propiedad distributiva.
El producto de un número entero por una suma es igual a la suma de los
productos de dicho número por cada sumando.
a
· (b+c) = a · b + a · c
8.3. Extraer factor común
Extraer
factor común consiste en expresar en forma de producto una suma o resta en la
que hay un factor que se repite en todos los sumandos.
FIN
