DIVIDIBILIDAD: Numeros Enteros

Matemáticas,  2ºESO Savia SM by: Adrián Mercado López

1. Reglas de divisibilidad

1.1. Múltiplos y divisores

- Un número es múltiplo de otro si es el resultado de multiplicar el segundo por   

algún número natural.

-  Un número es divisor o factor de otro si se puede dividir el segundo entre el  primero de forma exacta.

1.2. Criterios de divisibilidad

Con los criterios de divisibilidad se sabe si un número es divisible entre otro sin

hacer la división.

Por	Criterio	Ejemplos
2	El número termina el cifra par.	8, 14, 42, 76, 120
3	La suma de sus cifras es múltiplo de 3.	3, 9, 15, 42, 84, 111
4	Sus dos ultimas cifras son 0 o forman múltiplo de 4.	12, 84, 100, 124, 512
5	El número acaba en 0 o en 5.	10, 25, 40, 95, 135
9	La suma de sus dos últimas cifras es múltiplo de 9.	45, 72, 108, 225, 333
10	El número acaba en 0.	10, 20, 70, 200, 520
11	-          Se suman las cifras que ocupan posiciones pares -          Se suman las cifras que ocupan posiciones impares. -          Se restan ambos resultados. -          El número inicial es divisible por 11 si el resultado obtenido es 0 o es múltiplo de 11.	66, 121, 396, 572, 1001
25	Sus dos últimas cifras son 0 o forman un múltiplo de 25.	50, 100, 175, 325, 500
100	Sus dos últimas cifras son 0.	100, 300, 700, 2400

            1.3. Números primos y compuestos

            Un número es primo si solo tiene dos divisores, el 1  y él mismo.

            Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

2. Descomposición factorial

            1.2. Descomposición en factores primos

           

            Para descomponer un número en factores primos, se siguen tres pasos:

-          1º: Se busca un divisor primo del número. Conviene empezar por los números primos más pequeños.

-          2º: Se divide el número entre el divisor primo encontrado.

-          3º: Se repite el proceso hasta que el cociente que obtengamos sea 1.

1.3. Múltiplos y divisores de números descompuestos en factores

Los múltiplos de un número contienen todos los factores primos de dicho número.

Los divisores de un número están formados por los factores primos de dicho número y los productos de estos factores entre sí.

      1.4. Número de divisores de un número natural

Para calcular el número total de divisores de un número, se suma una unidad a cada uno e los exponentes de su descomposición en factores primos y se multiplican los resultados.

3. Máximo común divisor

El máximo común divisor (m.c.d.) de varios números es el mayor de sus divisores comunes.

El máximo común divisor de varios números es igual al producto de sus factores primos comunes elevados a los menores exponentes.

4. Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor de sus múltiplos comunes.

El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto de todos sus factores primos comunes y no comunes, elevados a los mayores exponentes.

5. Los números enteros

Los números enteros comprenden:

-          Los números enteros positivos: +1, +2, +3, +4…

-          Los números enteros negativos: -1, -2, -3, -4…

-          El cero

El conjunto de todos los números enteros se representa con la letra ℤ.

ℤ= {…-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4…}

5.1. Representación de números enteros

Para representar los números enteros en la recta, realizamos los siguientes pasos:

-          1º: Señalamos el 0, indicando el origen, y el 1 a su derecha a cualquier distancia.

 

-         

2º: Usamos dicha distancia para situar los demás números. Los números enteros positivos se sitúan a la derecha del cero y los negativos, a su izquierda.

5.2. Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto entero a, |a|, representa su distancia al 0 y es igual al número natural que se obtiene al eliminar el signo.

5.3. Opuesto de un número entero

El opuesto de un número entero a, op(a), es otro número entero con el mismo valor absoluto y signo contrario.

5.4. Ordenación de números enteros

- Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo.

- El 0 es menor que cualquier número entero positivo y mayor que cualquier número entero negativo.

- Dados dos números enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

- Dados dos números enteros negativos, es mayor el que tiene manor valor absoluto.

6. Sumas y restas de números enteros

         6.1. Suma de números enteros

Para sumar números enteros del mismo signo, se suman sus valores absolutos y se deja el mismo signo.

Para sumar números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y se deja el signo del sumando que tenga mayor valor absoluto.

6.2. Resta de números enteros

Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo.

6.3. Sumas y restas combinadas

Para realizar sumas y restas dentro de un paréntisis, se puede eliminar el paréntisis teniendo en cuenta de que:

-          Si al paréntesis le procede un signo +, los sumandos conservan el signo.

-          Si al paréntesis le procede un signo -, los sumandos cambian de signo.

7. Multiplicación y división de enteros

            7.1. Multiplicación de números enteros

            Para multiplicar dos números enteros, se multiplican sus valores absolutos.

+ · + = +	− · + = −
+ · − = −	− · − = +

            7.2. Divisón de números enteros

            Para dividir dos números enteros, se dividen sus valores absolutos.

+ : + = +	− : + = −
+ : − = −	− : − = +

         7.3. Multiplicaciones y divisones combinadas

Al combinar multiplicaciones y divisones o varias divisiones consecutivas, es necesario seguir el orden en el que aparecen, de izquierda a derecha.

7.4. Múltiplos y divisores de números enteros

Los múltiplos de un número entero se obtienen al multiplicar dicho número por un segundo número entero positivo o negativo.

Los divisores de un número entero está formados por sus divisores naturales y sus opuestos.

8. Operaciones combinadas con números enteros

            8.1. Jerarquía de de operaciones

Para operar con números enteros se resuelven primero las operaciones de dentro de los paréntesis y corchetes y después el resto, siguiendo este orden:

-          1º: Se realizan las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.

-          2º: Se realizan las sumas y restas.

8.2. Propiedad distributiva

Propiedad distributiva. El producto de un número entero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada sumando.

a · (b+c) = a · b + a · c

8.3. Extraer factor común

Extraer factor común consiste en expresar en forma de producto una suma o resta en la que hay un factor que se repite en todos los sumandos.

FIN

Versión descargable en pdf: https://drive.google.com/file/d/0B7Ejal7Yg7oORFJEdVROQkRUN0k/view?usp=sharing